上一章 最后，我们引入了马尔可夫链。马尔可夫链简单来说就是一个个状态组成的链，其中每个状态只于前一个状态有关。然而，除了这个简单定义之外，马尔可夫链还有一个有趣的性质：平稳分布。要解释平稳分布是什么，我们先从一个例子讲起。

一、马尔可夫链的平稳分布

比如一个地区有三个政党：「民主党」、「共和党」、「自由党」，我们用一个向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3$ 来表示每年选举的投票结果:

假设每年的选举结果只和上一年的结果有关，即选举向量构成的序列满足马尔可夫性质，是一个马尔可夫链。那么，像 上一章 那个人口迁移的例子一样，我们可以用一个状态迁移矩阵来描述每年选举结果的变化情况。

比如我们要研究某一年开始，该地区选举变化情况，而且已经得到了该地区选举变化的迁移矩阵 $\mathbf{P}$：

假设在起始年，三个党的得票情况为：$\mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix}1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$。那么我们顺着迁移矩阵看一下接下来几年，这个地区的选举情况会发生怎么样的变化。通过递推公式 $\mathbf{x}_{i+1} = \mathbf{P} \mathbf{x}_i$ 我们可以计算出

我们可以发现，这个选举结果向量 $\mathbf{x}$ 越来越逼近于向量 $\mathbf{q} = \begin{bmatrix}0.3\\ 0.6\\ 0.1\end{bmatrix}$。事实上，当我们把迁移矩阵乘上这个向量：

就会发现，不但选举结果越来越趋向某一个固定向量 $\mathbf{q}$，而且当结果达到和 $\mathbf{q}$ 一致时，这个系统便不再改变！这也就是我们所说的达到平稳分布。这个固定向量 $\mathbf{q}$ 就是 稳态向量。

可以证明，这个稳态向量由迁移矩阵所控制。一个马尔可夫链中，迁移矩阵一旦确定，那么不管它的起始状态（$\mathbf{x}_0$）是什么样，它的稳态将唯一确定（有种宿命论的感觉）。这是马尔可夫链的一个重要性质，对于一个系统的长期发展很有帮助。此外，这个性质也反应了矩阵的两个重要属性：特征值与特征向量。

二、特征值与特征向量

当我们把一个矩阵看作是一个线性变换：$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{A}\mathbf{x}$ 时，我们将矩阵理解成为一种运动，一种能使向量 $\mathbf{x}$ 向着向量 $\mathbf{A}\mathbf{x}$ 移动的「力」。一般来说，向量 $\mathbf{x}$ 经 $\mathbf{A}$ 进行变换有可能是朝着各个方向移动。然而，总有某些特殊向量，线性变换在这些向量上的作用是十分简单的。

比如：已知向量 $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}-1\\ 1\end{bmatrix}, \mathbf{v}=\begin{bmatrix}2\\ 1\end{bmatrix}$，矩阵 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 表示的线性变换分别应用于（即矩阵左乘）向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 后的结果如下图所示：

事实上，$\mathbf{A}\mathbf{v} = 2\mathbf{v}$，从图像上看就是拉伸了向量 $\mathbf{v}$。

更一般的，

$\mathbf{A}$ 为 $n\times n$矩阵，$\mathbf{x}$为非零向量，若存在数 $\lambda$ 使得 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$，则称 $\lambda$ 为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值，$\mathbf{x}$ 为 $\mathbf{A}$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

这就是我们其实已经很熟悉的特征值与特征向量定义了。特征值与特征向量的一个作用就是来研究线性变换中那些「特殊情况」，这些特殊情况可以看作是这个线性变换的「特征」。当我们把矩阵看作线性变换时，特征值与特征向量可以相配合作为描述这个线性变换的一个「特征」（有的文献也把特征值与特征向量称为本征值与本征向量）。

至于特征值和特征向量的求解，相信大家比较熟练了（建立特征方程 $(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 进行求解），这里不再赘述。注意，一个特征方程所有解的集合构成了一个空间，即对于某一个特征值，它所对应的特征向量将构成一个空间，被称为 $\mathbf{A}$ 对应于 $\lambda$ 的特征空间，特征空间由零向量和所有对应于 $\lambda$ 的特征向量组成。

不同特征值对应的特征向量线性无关，而同一个特征值对应的不同特征向量能张成整个特征空间。如果一个特征值只对应一个特征向量，那么这个特征值对应的特征空间就是一条一维直线；而如果一个特征值对应两个特征向量，那么这个特征值对应的特征空间将是一个二维平面。

由于 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$，因而线性变换 $\mathbf{A}$ 对于特征空间只起到「扩张」的作用（扩张后还是同样的特征空间）。

三、特征向量与马尔可夫链

我们已经知道 $\mathbf{x}_{i+1}=\mathbf{A}\mathbf{x}_k$，而如果我们找一个 $\mathbf{A}$ 的特征值 $\lambda$ 及其对应的特征向量 $\mathbf{x}_0$，则有

因此，如果我们已经知道一个马尔可夫链的转移矩阵 $\mathbf{A}$，我们不需要看它的初始状态是什么，只要找 $\mathbf{A}$ 的特征值 $\lambda$ 及其对应的特征向量 $\mathbf{x}_0$，那么我们就能通过计算得到这个马尔可夫链达到稳态时的状态。

$\mathbf{x}_0$ 除了用一个特征向量外，也可以用多个特征向量的线性组合。比如 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2$，对应的两个特征向量为 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$，那么我们可以用 $c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2$ 来表示 $\mathbf{x}_0$。这样得到的 $\mathbf{x}_{i+1}$ 为：

3.1 人口迁移例子

回顾 上一章 那个关于城市人口迁移的研究，那个例子我们引入了马尔可夫链这个概念，而从这章我们知道马尔可夫链有个平稳分布的性质，那么上一章那个人口迁移的例子最终也一定会达到某种稳定状态，即城乡人口比例保持不变。

上一章中，我们已经得出：

即迁移矩阵 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0.95 & 0.03\\ 0.05 & 0.97 \end{bmatrix}$。这次的套路是求解特征方程 $(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{x}=0$（事实上，这里的2阶方阵通过计算行列式解 $\det\mathbf{A}=0$ 会更方便些。当然，手边有电脑的话直接交给 matlab、python 之类的就行 :D），得到特征值为 1 和 0.92，对应的特征向量分别为 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 3\\ 5 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}$ 的倍数。

由于有两个互不相等的特征值，我们可以知道它们对应的两个特征向量也线性无关，我们将初始向量 $\mathbf{x}_0$ 用两个特征向量的线性组合表示：

假设我们已知 $\mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 0.6\\ 0.4 \end{bmatrix}$ （单位：百万人），那么就可以解得 $c_1 = 0.125, c_2 = 0.225$.

所以，每年的人口分布为：

随着 $i \rightarrow \infty$，$1^i = 1, 0.92^i \rightarrow 0$，所以 $x_i \rightarrow c_1 \mathbf{v}_1 = 0.125 \mathbf{v}_1$

这就显示了这个马尔可夫链最终总会达到平稳分布，达到平稳分布时的稳态向量就是 $0.125 \mathbf{v}_1$。这也印证了我们之前的观察：马尔可夫链达到平稳分布时，稳态向量与初始状态无关，只与迁移矩阵（特别是迁移矩阵的特征向量）有关。

总结

这一章，我们通过马尔可夫链了解到了矩阵特征值与特征向量的概念。在本章中，我们把一个矩阵看作是一个线性变换，这个矩阵不断应用于某一个向量，使这个向量在空间中发生「运动」。而直观的讲，特征值与特征向量就是来描述这个「运动」的一个「本征」的，即在某些方向上的线性变换不会改变向量的方向。

参考文献：

• 线性代数及其应用：第3版/（美）莱（Lay, D.C.）著；沈复兴等译. ——北京：人民邮电出版社，2007.7

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