上一章用了一个经济学的例子，介绍了现实中的线性方程组，那个例子里，我们借助矩阵「封装」的作用，将解三个方程组的问题转换为解：

而我们知道，矩阵不仅可以封装数据，还可以表示线性变换，那这一章就来介绍一下矩阵变换在现实生活中的应用。

一、社会学例子

这个例子同样来自于《线性代数及其应用》这本书。

假如我们要研究一个城市的人口迁入、迁出的问题。用 $c_i$ 和 $r_i$ 分别表示第 $i$ 年该城市市区和郊区的人口数，$c_0$和$r_0$就是初始年（最开始进行观测的那一年）市区和郊区的人口数。再用 $\mathbf{x}_i$ 表示第 $i$ 年的人口向量：$\mathbf{x}_i = \begin{bmatrix}c_i \\ r_i \end{bmatrix}$。

设人口统计学研究表明，每年有 5% 的城市人口迁移到郊区（其余 95% 继续留在城市），有 3% 的郊区人口移居城市（其余 97% 继续留在郊区），如下图所示：

这个研究结果，用数学表示就是，第 $i$ 年的城区人口经过一年后，在城区和郊区的分布为：

第 $i$ 年的郊区人口经过一年后，在城区和郊区的分布为：

这时（第 $i+1$ 年），城区人口有来自一年前城区人口的 95%，以及一年前郊区人口的 3%；同样，郊区人口有来自一年前城区人口的 5%，以及一年前郊区人口的 97%。用向量表示就是，第 $i+1$ 年的城市人口分布：

也就是每年人口分布是由上一年人口分布左乘一个矩阵（这个矩阵表示线性变换）得到的，我们用 $\mathbf{M}$ 表示这个矩阵，就是：

从这个例子，我们可以发现，当我们假设人口迁移的规律比较简单时（每一年的人口只与上一年人口有关，且是线性关系），人口的迁移就可以通过线性变换来表示。又由于矩阵可以表示一个线性变换，所以每一年的人口都可看作是上一年人口左乘一个变换矩阵（又叫转移矩阵）。

二、马尔可夫链

有同学可能已经意识到了，这个例子实际上就是马尔可夫链嘛！对，这个就是马尔可夫链。

（马尔可夫链）为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。该过程要求具备 「无记忆」 的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。 -- 中文维基百科/马尔可夫链

在我们的例子里，城市每一年人口只与上一年人口有关，满足马尔可夫性质，所以人口的迁移可以看作是一个马尔可夫链。这个链中表示状态的节点就是 $\mathbf{x}_i$，节点中的转换关系就是转移矩阵 $\mathbf{M}$。

这个例子展示了我们借助线性变换解决几何之外的问题时的思路：

• 首先，在我们将每年的人口建模为一个二维向量 $\mathbf{x}_i$ 的时候，这个实际问题就已经转换到二维的空间中了。从这个空间的角度来看，每年人口的变化情况，就是二维向量不断变换的过程。
• 由于我们假设人口变化是一个线性变换（比如每年城区人口是上一年城区人口和郊区人口的线性组合），所以这个变换可以用矩阵来描述。
• 又因为我们进一步简化问题，任务每年的变化是稳定的，所以这个线性变换只需要一个矩阵就可以了。

未来关于这个例子还会进一步展开，对马尔可夫链的平稳分布进行更深入的分析。

参考文献：

• 线性代数及其应用：第3版/（美）莱（Lay, D.C.）著；沈复兴等译. ——北京：人民邮电出版社，2007.7

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