复数的几种表示形式

2015-10-06

#傅里叶变换

#欧拉公式

研究傅里叶变换的过程中经常要和复数打交道，经常会遇到 $e^{ix}$ 这种形式。

这里就总结一下复数的直角坐标、极坐标，以及复指数表示形式，也有对欧拉公式的直观解释，以便更好地理解傅里叶变换。

本文中图片均来自于国立台湾师范大学资讯工程学系的演算法笔记。

一、复数的直角坐标表示

首先，复数基本单位是 $i=\sqrt{-1}$ ，有了这个单位，复数空间中的每个数都可以表示为 $a+bi$ 的形式。其中，a 被称为「实部（real part）」，b 被称为「虚部（imaginary part）」。

复数可以在复平面（complex plane）上表示，复平面横纵坐标分别为实部和虚部，下图就是复数 $2+3i$ 在复平面上的表示。

复平面

我们可以发现，这个复平面和实数空间的直角坐标系类似。那可不可以用极坐标的方法表示复数呢？

二、复数的极坐标表示

事实上，复数是可以用极坐标表示的，那一个复数用极坐标表示时的长度和角度分别是多少呢？我们可以在复平面中计算出来。

例如，复数 $4+3i$ 的复平面直角坐标表示是 $(4, 3)$ ，原点指向该点的向量长度 $r=\sqrt{3^2+4^2}=5$ ，向量的角度 $\theta = arctan(\frac{3}{4})$ 。

复数的极坐标表示

这里，复数极坐标表示的长度 $r$ 也被称为「强度（magnitude）」，角度 $\theta$ 也被称为「相位（phase）」。

2.1 由复数极坐标得到直角坐标

上面我们用复数的直角坐标计算出了极坐标，那么是不是也可以由极坐标推出直角坐标呢？我们还是从复平面中来看：

复数两种表示形式之间的转换

从上图可以看出，当我们有复数极坐标 $(r, \theta)$ 时，我们可以得到其直角坐标 $(r \cos(\theta), r \sin(\theta))$ ，即该复数为 $r\cos\theta + r*i\sin\theta$ 。

三、复数的复指数表示与欧拉公式

欧拉有一天发现，神奇数字 $e$ 的纯虚数次方竟然在复数平面上绕圈！

用极坐标形式表示，就是 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 。

如此，一个复数就又多了一种指数的表示形式，即复指数形式： $r e^{i\theta} = r \cos\theta + r*i \sin\theta$ 。

而当 $r=1$ ， $\theta=\pi$ 时，对应的直角坐标刚好就是 $(-1, 0)$ ，也就是实数 -1。由此就有了那个著名的「欧拉公式」：

e^{i\pi}+1=0

3.1 复数波和实数波

实数波我们比较熟悉，就是 $\sin\theta$ 或 $\cos\theta$ 形式。而复数波则是由 $e^{i\theta}$ 来定义，实数波和复数波的示意图如下：

实数波和复数波示意

从示意图中，可以看出，当俯视复数波时，观察到的投影即是一个实数波，即是 $e^{i\theta}=\cos\theta + i* \sin\theta$ 的实部： $\cos\theta$ ；当从左侧侧视复数波时，得到的投影即是其虚部： $\sin\theta$ 。

事实上，复数波的完整定义为：

Ae^{i(\omega t+\phi)} = Ae^{i(2\pi f t+\phi)} = A\cos(2\pi f t+\phi) + iA\sin(2\pi f t+\phi)

其中， $A$ 为振幅， $\omega$ 为角速度， $f$ 为频率， $\phi$ 为初试相位，这个波的强度（magnitude）为 $A = \sqrt{A^2 \cdot \cos^2(2\pi f t+\phi) + A^2 \cdot \sin^2(2\pi f t+\phi)}$ ，瞬时相位（phase）为 $2\pi f t + \phi$ 。

由于复指数形式的复数波 $e^{i\theta}$ 相较于 $\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ 更简单且更易于控制，因而在信号处理中得到广泛的使用。除此之外， $e^{i\theta}$ 形式可以看作是实数波的基础，因为我们可以组合两个复数波来得到 $\cos(\theta)$ 和 $\sin(\theta)$ ：

\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}

\sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

另外，在信号处理中，我们只需要考虑实部的线性运算，因此，在我们对一个复数波进行滤波后，得到的复数波可以分解为 $\cos$ 和 $\sin$ 的形式，进而只需要选取实部所对应的 $\cos$ 部分就行了。

在傅里叶变换中，便是将任意非周期函数分解为了各种复数波叠加的形式，因而傅里叶变换的公式中才会有类似 $e^{ix}$ 的形式。

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